Center for Interdisziplinary Research
 
 

New Trends in Potential Theory and Application

Termin: 26. - 30. März
Leitung: Philippe Blanchard (Bielefeld), Jürgen Bliedtner (Frankfurt am Main), Abderrahman Boukricha (Tunis), Klaus Janßen (Düsseldorf), Volker Metz (Bielefeld) und Michael Röckner (Bielefeld)

Die mathematische Disziplin der Potentialtheorie entstand historisch aus praktischen Problemen der Astronomie. Diese Interdisziplinarität hat sich nicht nur erhalten, sondern auf andere, zum Teil unerwartete Probleme der Biologie, Chemie, Physik, Technik und Wirtschaft erweitert. Dabei profitiert sowohl die Potentialtheorie von der Heuristik der angewandten Fragestellungen als auch die Anwendung von der Rigorosität und Abstraktion mathematischer Resultate. Diese fruchtbare Wechselwirkung sollte durch die oben genannte Konferenz anhand neuerer Trends nutzbar gemacht werden.
Die historische Aufgabenstellung der Potentialtheorie ist es, die Anziehungskräfte zwischen Himmelskörpern zu beschreiben. I. Newton gelang dies 1666 durch sogenannte Gravitationspotentiale. Sie gaben der Potentialtheorie ihren Namen. Das Potential Ny(x) gibt die Arbeit an, welche erforderlich ist, um eine Einheitsmasse gegen die Anziehung einer in y befindlichen Einheitsmasse vom Punkt x bis ins Unendliche zu entfernen. Die Anziehungskräfte berechnen sich daher durch Differenzieren des Potentials. Die Funktion Ny nennt man das Potential der Einheitsmasse in y. Ein entsprechendes mathematisches Modell ist jedoch nicht mehr auf Anziehung als grundlegendes Phänomen angewiesen und hat sich als vielfältig einsetzbar erwiesen, z. B. für elektrische Felder, die Wärmeleitung, die Gasbewegung etc.
In den 50er Jahren des letzten Jahrhunderts entdeckte man eine enge Verbindung zwischen obiger (analytischer) Potentialtheorie und der sogenannten Brownschen Bewegung. Man stelle sich vor, in einem mit Wasser gefüllten Behälter bewege sich ein im Vergleich zu den Wassermolekülen großes Schwebeteilchen infolge der Stöße, denen es durch die jeweils benachbarten Wassermoleküle ausgesetzt ist. Bei dem Biologen Brown war es 1828 ein Pollen auf einem Wassertropen unter dem Mikroskop. Die Stöße modelliert man mathematisch als zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus jeder möglichen Richtung. Die Bewegung erfolgt so, dass bei bekannter Position zur Zeit t die Kenntnis von früheren Positionen für die Vorhersage von späteren Positionen keine zusätzliche Information liefert. Man sagt, das Teilchen habe kein Gedächtnis. Grundlegend für das Studium der Brownschen Bewegung ist die nach C. F. Gauß (1777 – 1855) benannte "Gaußverteilung" oder "Glockenkurve";. (Man findet Herrn Gauß und seine Kurve noch bis Ende 2001 auf jedem Zehnmarkschein.) Anschaulich, aber formal nicht ganz korrekt, ist der obige Wert Ny(x) die zu erwartende Gesamtaufenthaltszeit Brownscher Teilchen in y bei Start in x.
Für die Konferenz in Bielefeld wurden insbesondere neuere Trends ausgewählt, die, nach Auffassung der Organisatoren, sich derzeit besonders dynamisch entwickeln oder eine solche Entwicklung erhoffen lassen. Zu den folgenden Kernthemen konnten namhafte Referenten gewonnen werden:

  • Unendlichdimensionale Analysis und Dirichletformen
  • Fraktale
  • Harmonische Abbildungen
  • Schrödingeroperatoren
  • (Pseudo-) Differentialoperatoren
  • Stochastische Analysis
An ausgewählten Beispielen aus den Themenbereichen eins, zwei, vier und sechs wollen wir neuere Anwendungen der Potentialtheorie erläutern.
Das erste Thema hat Anwendungen in der statistischen Mechanik und ist eng mit der stochastischen Analysis verbunden. Ein Ziel ist es, die Dynamik von Systemen unendlich vieler Teilchen, die miteinander in komplizierter Weise wechselwirken, zu beschreiben. Praktisch sind dies etwa sehr viele Brownsche Teilchen, die sich abhängig von ihrem Abstand gegenseitig anziehen oder abstoßen. Nichtlineare stochastische partielle Differentialgleichungen sollten eine exakte Beschreibung ermöglichen und Voraussagen über das charakteristische Verhalten solcher Systeme erlauben. Ein Hauptinteresse gilt dabei der zeitlichen Entwicklung der Verteilungen der Teilchen im Raum, die sich als Lösungen (deterministischer) linearer partieller Differentialgleichungen berechnen lassen. Diese Gleichungen involvieren allerdings unendlich viele Variablen. Potentialtheoretische Methoden, insbesondere jene im Umfeld der sogenannten Dirichletformen, haben bei dieser unendlichdimensionalen Analysis zu weitreichenden Fortschritten geführt.
Auf Fraktalen modelliert man etwa die Wärmeleitung oder den Ladungstransport in gewissen porösen Materialien. Ein Fraktal ist anschaulich gesehen etwa wie ein Schwamm, dessen Struktur auch unter einem beliebig starken Mikroskop stets schwammartig bleibt. Diese Eigenschaft macht den klassischen Begriff der Ableitung nutzlos. Interessanterweise stößt man bei der entsprechenden mathematischen Theoriebildung fast automatisch auf das physikalisch-technische Konzept der Homogenisierung. Es beschreibt den Mittelungseffekt komplizierter lokaler Strukturen bei der Bestimmung globaler Eigenschaften. Man denke etwa an die komplizierte Struktur eines Glasfiberstabs unter dem Mikroskop und seine hohe Bruchfestigkeit als globale Eigenschaft. Überraschenderweise ist es möglich, gewisse homogene und fraktale Strukturen in einem gemeinsamen mathematischen Rahmen zu behandeln.
Schrödingeroperatoren verallgemeinern die obige Potentaltherie der Brownschen Bewegung dahingehend, dass irrfahrende Schwebeteilchen nun zusätzlich zufällig erzeugt und vernichtet werden können. Dies erlaubt zum einen das Studium sehr inhomogener Materialien (mit Senken und Quellen) und zum anderen das Studium nichtlinearer Probleme, wie sie z. B. in der Kinetik katalytischer Reaktionen aus der physikalichen Chemie auftreten. Theoretisch fasst man die Nichtlinearitäten als Störungen der linearen Modelle auf. Damit liegt der Vorteil der linearen Schrödingeroperatoren in der Allgemeinheit der zugelassenen Störungen.
Die stochastische Analysis spezieller nichtlinearer Gleichungen des obigen Typs führt auf die Theorie der maßwertigen Diffusionen mit Anwendungen auf die Populationsgenetik der Biologie. Hier steht die Analyse des Langzeitverhaltens mit Anwendungen auf Sterbewahrscheinlichkeiten zugrunde liegender Populationen sowie die Entwicklung eines Teilchenbildes zur Analyse der Genealogie der Populationen im Mittelpunkt.
Die wohl spektakulärste Anwendung der Mathematik in den letzten Jahren ist die Preisberechnung für Derivate. Hier müssen grob gesagt Quoten für Wetten auf den Kursverlauf von Aktien bestimmt werden. Mathematisch modelliert wieder einmal die Brownsche Bewegung (oder einer ihrer verallgemeinerten Verwandten) den irregulären (gezackten) Verlauf von Aktienkursen. Trends können so natürlich nicht modelliert werden, sie bleiben die Domäne der Broker.

Tagungsprogramm



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