H.D. Vohmann
Experimentieren im Analysisunterricht
Band 67

Leseprobe


1. Einleitung und didaktische Vorbemerkuagen

Dieser Aufsatz ist vor allem für Lehrerinnen und Lehrer sowie für Studentinnen und Studenten der Mathematik als Fach der Sekundarstufe II geschrieben. Ihnen soll durch das Mitdenken einzelner hier ausführlich dargestellter Berechnungen deutlich werden, daß die stofflichen Anforderungen des behandelten Gegenstandes teilweise schon auf der Sekundarstufe I und in Analysis-Grundkursen (vgl. hierzu insbesondere 2.2.) und fast durchgehend auf Analysis-Leistungskursniveau zu bewältigen sind. Es ist leider immer noch weitgehend unüblich, im Analysis-Unterricht Differentialgleichungen zu behandeln, obwohl sich bei Beschränkung auf einfache Typen von gewöhnlichen Differentialgleichungen, z.B. lineare mit konstanten Koeffizienten oder - wie in diesem Aufsatz - solche, in denen die unabhängige Variable nicht auftritt und die dann durch Trennung der Variablen über eine Anwendung der Kettenregel gelöst werden können, besonders wichtige Unterrichtsperspektiven erschließen:

Zunächst einmal entstehen dabei motivierende Anlässe, gelernte Analysis. innermathematisch anzuwenden, zu wiederholen oder zu vertiefen. Darüber hinaus - was noch wichtiger ist - eröffnen sich über die Behandlung von derartigen Differentialgleichungen vielfältige interessante und praktische Anwendungen von Mathematik; dies soll mit den Anwendungen exemplarisch verdeutlicht werden, die in dem vorliegenden Aufsatz behandelt werden: dem Ausfließen von Wasser aus Gefäßen und dem Kreislauf von Wasser in einem System solcher Gefäße.

Werner Blum (Gh Kassel), der eine erste Fassung dieses Aufsatzes gelesen hatte, machte uns auf eine uns bis dahin unbekannte Arbeit von Uwe Beck (1977) aufmerksam. Beck schlägt unter dem Titel ,,Auslaufvorgänge aus Wasserbehältern - eine anwendungsorientierte Einführung in die Analysis" einen einführenden Kurs in die Analysis . vor; sein Ausgangsexperiment ist ein Spezialfall der Situation, die wir in 2.4. betrachten. Es war für uns reizvoll - und es sei weiterempfohlen -, den Aufsatz von Beck. (15 Jahre nach der Veröffentlichung) zu lesen und nachzuvollziehen, wie eine gemeinsame Idee (Auslaufvorgänge von Wasser mathematisch zu beschreiben) und verwandte didaktische Absichten zu Handlungsvorschlägen führen, die sich ergänzen und die zeigen, daß das Thema noch vielfältige Anschlußmöglichkeiten bietet. Im Vergleich beider Aufsätze bekommen die jeweils darin angesprochenen Alternativen noch konkretere Gestalt: Für uns ging es um tatsächliche Anwendungen von bereits gelernter Mathematik. Die Facharbeit stand nahezu am Ende einer ,,trockenen" Analysisausbildung, in der auch schon einige Differentialgleichungen vorgekommen waren (vgl. 3.). U. Beck stellt in seinem Kursvorschlag die propädeutischen Aspekte in den Vordergrund, indem er aus qualitativen Beschreibungen von Auslaufvorgängen Grundbegriffe der Analysis wie z.B. monoton, Maximum, Änderungsrate, konkav und konvex, Wendepunkt gewinnt. Wir wollten elegantes Handwerkszeug der kontinuierlichen Analysis ausprobieren, und wir erlebten sehr bald die Grenzen der Berechenbarkeit von und mit Differentialgleichungen und hatten viele Anlässe, diese Probleme zu erörtern und uns mit diskretisierenden Näherungsverfahren zu befassen. U. Beck schlägt für die ersten quantitativen Untersuchungen (relativ) elementare Berechnungen mit Differenzengleichungen vor und führt über die Diskussion der Ungenauigkeiten dieses Verfahrens zur Idee von kontinuierlicher Analysis.

Die Art der Darstellung in unserem Bericht (insbesondere in 2.2. bis 2.4.) orientiert sich an der Darstellung, wie sie als Ergebnisbericht nach einer Reihe von (mehr oder weniger) gelungenen Experimenten und Modellierungsversuchen denkbar ist und in der zugrundeliegenden Facharbeit gewählt wurde. Eine Behandlung des Gegenstands im Unterricht sollte zunächst die handwerklichen Aspekte wichtig nehmen, weil dabei ,,von selbst" viele Fragestellungen, Vermutungen und Ideen entstehen, die Anwendungen von Mathematik erfordern, erlauben oder auch sich solchen widersetzen, was ebenfalls eine wichtige und realistische Erfahrung bei Modellbildungen ist. Wir plädieren damit für einen in Teilen projektartigen und offenen Unterricht:

Die Schülerinnen und Schüler sollten mit verschiedenartigen Flaschen Auslaufversuche machen und dabei diskutieren, was sie beobachten, wiederholen, messen, berechnen, vorhersagen können, mit welcher Genauigkeit dies möglich ist, und besonders auch, wozu dies dienen könnte. Wenn von den Auslauf-Experimenten einige Meßreihen vorliegen, können die in 2.2. vorgestellten verschiedenen Ansätze zum Anpassen von Volumen-Zeitfunktionen für Aufträge an parallel arbeitende Schülergruppen genutzt werden; dies wird sie anspornen, die jeweils gewählte Methode möglichst gut auszuführen, und sie motivieren, (geringfügig) variierende Ergebnisse oder unterschiedliche Darstellungen von Funktionstermen zu vergleichen und zu erklären.

Für unsere Arbeit war ein größerer motivierender Zusammenhang darin gegeben, daß wir eine ,Gleichgewichtsmaschine' als Fluß-System von Flaschen nachbauen und modellieren wollten (vgl. 2.1. und 3.). Im Unterricht wäre auch zu erörtern, für welche komplexen Vorgänge und Systeme eine auslaufende Flasche oder auch die Gleichgewichtsmaschine interessante Modelle sein könnten:

Fließvorgänge in größeren Wasserbecken wie Brunnen, Teichen oder Stauseen und deren Verbundsystemen; physiologische, ökologische oder ökonomische Kreislaufsysteme u.a.

Lehrerinnen und Lehrer haben durch ihre Vorrat-Kenntnisse von möglichen mathematischen Modellen erhebliche Vorteile vor ihren Schülerinnen und Schülern. Gerade deshalb sollten sie sich auch auf Versuche mit noch unbekanntem Ausgang einlassen. Dabei kann ein besonders fruchtbares Klima zwischen Lernenden und Lehrenden entstehen, in dem nicht entmutigendes Allwissen, sondern Helfen, gemeinsames Suchen und Lösen im Vordergrund stehen.
 


 
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